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Struttura del corso. Il corso (6 crediti, corrispondenti a circa 48 ore di lezione,
metà teoria, metà esercitazioni)
è diviso in due parti: richiami di analisi (più metodo delle
funzioni di Green) e metodi asintotici.
Testi di riferimento. Prima parte del corso: G. Gilardi, Analisi 3. Seconda parte del corso: C.M. Bender e S.A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and engineers. Testi consigliati: C. Rossetti, Metodi matematici per la fisica; G.P. Cigogna, Metodi matematici della fisica; E.J. Hinch, Perturbation methods. Esame. L'esame consiste in due scritti e un orale; 10 punti per ciascuno scritto, MAX 10 punti per l'orale. Il punteggio minimo in ciascuno scritto per accedere all'orale è 5 punti. Gli scritti si possono dare in qualsiasi ordine (anche insieme: 2 ore ciascuno). L'orale va dato entro un anno dagli scritti. Ulteriori 10 punti MAX possono essere acquisiti attraverso frequenza alle esercitazioni, risoluzione di "esercizi per casa" e avere sostenuto con successo gli scritti offerti a metà corso e alla prima sessione di esame. I punti sono così organizzati: 0.25 punti per ogni lezione di esercitazioni frequentata (le lezioni di esercitazioni sono 12, il punteggio MAX sono quindi 3 punti) 0.25 punti indivisibili (o tutto o niente) per ogni esercizio per casa. Gli esercizi sono messi a disposizione, durante la lezione di teoria, per la successiva lezione di esercitazione (il punteggio MAX è pertanto di nuovo 3 punti); i punti sono in aggiunta e non in alternativa alla frequenza alle esercitazioni; per ottenere gli 0.25 punti, è sufficiente un tentativo ragionevole di risoluzione. 2 punti se si sostiene (e si passa) lo scritto sulla prima parte del corso, che sarà offerto prevedibilmente a Dicembre o a Gennaio. 2 punti se si sostiene (e si passa) lo scritto sulla seconda parte del corso, che sarà offerto al termine delle lezioni. Per gli studenti che hanno seguito il corso nell'anno accademico 2009/2010, rimangono valide le regole precedenti (15 e non 10 punti per l'orale; l'argomento "miscellanea di metodi perturbativi per problemi singolari" non viene richiesto all'esame). Programma del corso:Richiami di analisi:Integrali e serie: il teorema di Lebesque; convergenza puntuale, assoluta e uniforme di successioni e serie di funzioni; relazione fra convergenza uniforme e continuità e limitatezza di funzioni; condizioni per portare limiti fuori dall'integrale; serie di potenze; raggio di convergenza.Teoria delle distribuzioni: lo spazio delle funzioni test; convergenza di funzioni test e distribuzioni; principali operazioni sulle distribuzioni: derivata, cambio di variabile, convoluzione; soluzione di equazioni algebriche con le distribuzioni; principali distribuzioni: la delta di Dirac, la funzione di Heaviside, il valore principale. La trasformata di Fourier: proprietà della trasformata di Fourier in L1; relazioni fra continuità e comportamento all'infinito; lo spazio delle distribuzioni temperate; trasformate e antitrasformate di Fourier di distribuzioni temperate; il teorema di Plancherel; trasformate di Fourier di derivate e convoluzioni; fenomeni di Gibbs. Analisi complessa: funzioni olomorfe e analiticità; comportamento nel piano complesso di funzioni olomorfe; rappresentazione di funzioni olomorfe con integrali e serie; il teorema di Mittag-Leffler; uso del teorema dei residui per il calcolo di integrali definiti e serie; uso dei tagli nel calcolo di integrali definiti. Il metodo delle funzioni di Green:Il metodo delle funzioni di Green: funzioni di Green e risoluzione di equazioni differenziali in spazio di Fourier; il problema delle condizioni al contorno; causalità e dissipazione; relazioni di Kramers-Kronig; la trasformata di Laplace e sua inversione; risoluzione di equazioni con condizioni iniziali tramite trasformata di Laplace.Equazioni della fisica matematica: principali ODE lineari: equazione di rilassamento, oscillatore armonico; principali PDE lineari: equazione di avvezione e caratteristiche; equazioni ellittiche, paraboliche e iperboliche; soluzioni fondamentali. Metodi asintotici:Serie divergenti e asintotiche: somma di serie divergenti tramite continuazione analitica; il metodo di Eulero; il metodo di Borel; relazioni asintotiche; serie asintotiche; approssimazione di funzioni con serie asintotiche; asintoticità di serie di potenze; contributi sottodominanti.Sviluppo asintotico di integrali: il lemma di Watson (con dimostrazione); integrali di Laplace e metodo di Laplace; trattamento di singolarità; metodo di punto sella e di steepest descent. Metodi di approssimazione locale per ODE: il metodo del bilancio dominante; richiami sul teorema di Fuchs e il metodo di Frobenius; punti analitici, singolari regolari e singolari irregolari di ODE; il leading order e il fattore di controllo in soluzioni di ODE; loro determinazione nei pressi di singolarità irregolari; fenomeni di Stokes. Metodi di approssimazione globale per ODE: teorie perturbative regolari e singolari; lo strato limite; il metodo WKB; applicazioni a problemi di strato limite e di propagazione di onde in mezzi disomogenei. Un altro esempio di tecniche perturbative per problemi singolari: il metodo multiscala. ESERCIZI ESAMI TIPO (PRIMA PARTE) ESAMI TIPO (SECONDA PARTE) NOTE AGGIUNTIVE Back to home page |