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Struttura del corso. Il corso (6 crediti, corrispondenti a circa 48 ore di lezione,
metà teoria, metà esercitazioni)
è diviso in due parti: richiami di analisi (più metodo delle
funzioni di Green) e metodi asintotici.
Testi di riferimento. Prima parte del corso: G. Gilardi, Analisi 3. Seconda parte del corso: C.M. Bender e S.A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and engineers. Testi consigliati: C. Rossetti, Metodi matematici per la fisica; G.P. Cigogna, Metodi matematici della fisica; E.J. Hinch, Perturbation methods. Esame. L'esame consiste in due scritti e un orale; 10 punti per ciascuno scritto, MAX 15 punti per l'orale. Il punteggio minimo in ciascuno scritto per accedere all'orale è 5 punti. Gli scritti si possono dare in qualsiasi ordine (anche insieme: 2 ore ciascuno). L'orale va dato entro un anno dagli scritti. Programma tentativo del corso:Richiami di analisi:Integrali e serie: il teorema di Lebesque; convergenza puntuale, assoluta e uniforme di successioni e serie di funzioni; relazione fra convergenza uniforme e continuità e limitatezza di funzioni; condizioni per portare limiti fuori dall'integrale; serie di potenze; raggio di convergenza.Teoria delle distribuzioni: lo spazio delle funzioni test; convergenza di funzioni test e distribuzioni; principali operazioni sulle distribuzioni: derivata, cambio di variabile, convoluzione; soluzione di equazioni algebriche con le distribuzioni; principali distribuzioni: la delta di Dirac, la funzione di Heaviside, il valore principale. La trasformata di Fourier: proprietà della trasformata di Fourier in L1; relazioni fra continuità e comportamento all'infinito; lo spazio delle distribuzioni temperate; trasformate e antitrasformate di Fourier di distribuzioni temperate; il teorema di Plancherel; trasformate di Fourier di derivate e convoluzioni; fenomeni di Gibbs (con dimostrazione). Analisi complessa: funzioni olomorfe e analiticità; comportamento nel piano complesso di funzioni olomorfe; rappresentazione di funzioni olomorfe con integrali e serie; il teorema di Mittag-Leffler; uso del teorema dei residui per il calcolo di integrali definiti e serie; uso dei tagli nel calcolo di integrali definiti. Il metodo delle funzioni di Green:Equazioni della fisica matematica: necessità di condizioni al contorno per ODE e PDE; principali ODE lineari: equazione di rilassamento, oscillatore armonico; principali PDE lineari: equazione di avvezione e caratteristiche; equazioni ellittiche, paraboliche e iperboliche; soluzioni fondamentali.Il metodo delle funzioni di Green: funzioni di Green e risoluzione di equazioni differenziali in spazio di Fourier; il problema delle condizioni al contorno; causalità e dissipazione; relazioni di Kramers-Kronig; la trasformata di Laplace e sua inversione; risoluzione di equazioni con condizioni iniziali tramite trasformata di Laplace. Metodi asintotici:Serie divergenti e asintotiche: somma di serie divergenti tramite continuazione analitica; il metodo di Eulero; il metodo di Borel; relazioni asintotiche; serie asintotiche; approssimazione di funzioni con serie asintotiche; asintoticità di serie di potenze (con dimostrazione); contributi sottodominanti.Sviluppo asintotico di integrali: il lemma di Watson (con dimostrazione); integrali di Laplace e metodo di Laplace; trattamento di singolarità; metodo di punto sella e di steepest descent. Metodi di approssimazione locale per ODE: il metodo del bilancio dominante; richiami sul teorema di Fuchs e il metodo di Frobenius; punti analitici, singolari regolari e singolari irregolari di ODE; il leading order e il fattore di controllo in soluzioni di ODE; loro determinazione nei pressi di singolarità irregolari; fenomeni di Stokes. Metodi di approssimazione globale per ODE: teorie perturbative regolari e singolari; lo strato limite; il metodo WKB; applicazioni a problemi di strato limite e di propagazione di onde in mezzi disomogenei; trattamento nel piano complesso di punti di inversione. ESERCIZI ESAME TIPO NOTE AGGIUNTIVE Back to home page |